Población frente a desviación estándar de la muestra
En estadística, se utilizan varios índices para describir un conjunto de datos correspondiente a su tendencia central, dispersión y sesgo. La desviación estándar es una de las medidas más comunes de dispersión de datos desde el centro del conjunto de datos.
Debido a dificultades prácticas, no será posible hacer uso de datos de toda la población cuando se prueba una hipótesis. Por lo tanto, empleamos valores de datos de muestras para hacer inferencias sobre la población. En tal situación, estos se denominan estimadores ya que estiman los valores de los parámetros de población.
Es extremadamente importante utilizar estimadores insesgados en la inferencia. Se dice que un estimador es insesgado si el valor esperado de ese estimador es igual al parámetro de población. Por ejemplo, utilizamos la media muestral como estimador insesgado de la media poblacional. (Matemáticamente, se puede demostrar que el valor esperado de la media muestral es igual a la media poblacional). En el caso de estimar la desviación estándar de la población, la desviación estándar de la muestra también es un estimador insesgado.
¿Qué es la desviación estándar de la población?
Cuando se pueden tener en cuenta los datos de toda la población (por ejemplo, en el caso de un censo) es posible calcular la desviación estándar de la población. Para calcular la desviación estándar de la población, primero se calculan las desviaciones de los valores de los datos de la media de la población. La raíz cuadrada media (media cuadrática) de las desviaciones se llama desviación estándar de la población.
En una clase de 10 estudiantes, los datos sobre los estudiantes se pueden recopilar fácilmente. Si se prueba una hipótesis en esta población de estudiantes, entonces no es necesario utilizar valores de muestra. Por ejemplo, los pesos de los 10 estudiantes (en kilogramos) se miden en 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 y 79. Entonces el peso medio de las diez personas (en kilogramos) es (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, que es 71 (en kilogramos). Esta es la media de la población.
Ahora, para calcular la desviación estándar de la población, calculamos las desviaciones de la media. Las respectivas desviaciones de la media son (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 y (79 - 71) = 8. La suma de los cuadrados de desviación es (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. La desviación estándar de la población es √ (366/10) = 6.05 (en kilogramos). 71 es el peso medio exacto de los estudiantes de la clase y 6.05 es la desviación estándar exacta del peso de 71.
¿Qué es la desviación estándar muestral?
Cuando se utilizan datos de una muestra (de tamaño n) para estimar parámetros de la población, se calcula la desviación estándar de la muestra. Primero se calculan las desviaciones de los valores de los datos de la media de la muestra. Dado que la media de la muestra se usa en lugar de la media de la población (que se desconoce), tomar la media cuadrática no es apropiado. Para compensar el uso de la media muestral, la suma de los cuadrados de las desviaciones se divide por (n-1) en lugar de n. La desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de esto. En los símbolos matemáticos, S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, donde S es la desviación estándar de la muestra, ẍ es la media de la muestra y x i 's son los puntos de datos.
Ahora suponga que, en el ejemplo anterior, la población son los estudiantes de toda la escuela. Entonces, la clase será solo una muestra. Si esta muestra se usa en la estimación, la desviación estándar de la muestra será √ (366/9) = 6.38 (en kilogramos) ya que 366 se dividió por 9 en lugar de 10 (el tamaño de la muestra). El hecho a observar es que no se garantiza que este sea el valor exacto de la desviación estándar de la población. Es simplemente una estimación.
¿Cuál es la diferencia entre la desviación estándar de la población y la desviación estándar de la muestra?
• La desviación estándar de la población es el valor del parámetro exacto que se utiliza para medir la dispersión desde el centro, mientras que la desviación estándar de la muestra es un estimador insesgado.
• La desviación estándar de la población se calcula cuando se conocen todos los datos de cada individuo de la población. De lo contrario, se calcula la desviación estándar de la muestra.
• La desviación estándar de la población viene dada por σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} donde µ es la media de la población y n es el tamaño de la población, pero la desviación estándar de la muestra está dada por S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} donde ẍ es la media de la muestra yn es el tamaño de la muestra.
