Serie Power vs Serie Taylor
En matemáticas, una secuencia real es una lista ordenada de números reales. Formalmente, es una función del conjunto de números naturales al conjunto de números reales. Si a n es el n- ésimo término de una secuencia, denotamos la secuencia por o por un 1, a 2,…, a n, …. Por ejemplo, considere la secuencia 1, ½, ⅓,…, 1 / n, …. Puede denotarse como {1 / n}.
Es posible definir una serie usando secuencias. Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por tanto, para cada secuencia hay una secuencia asociada y viceversa. Si {a n} es la secuencia bajo consideración, entonces, la serie formada por esa secuencia se puede representar como:
Por lo tanto, en el ejemplo anterior, la serie asociada es 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Como sugieren los nombres, la serie de potencias es un tipo especial de serie y se usa ampliamente en Análisis Numérico y modelos matemáticos relacionados. La serie Taylor es una serie de potencia especial que proporciona una forma alternativa y fácil de manipular de representar funciones conocidas.
¿Qué es la serie Power?
Una serie de potencias es una serie de la forma
que es convergente (posiblemente) para algún intervalo centrado en c. Los coeficientes an pueden ser números reales o complejos y son independientes de x; es decir, la variable ficticia.
Por ejemplo, estableciendo a n = 1 para cada n, yc = 0, se obtiene la serie de potencias 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Es fácil observar que cuando x ε (-1,1), esta serie de potencias converge a 1 / (1-x).
Una serie de potencias converge cuando x = c. Los otros valores de x para los cuales converge la serie de potencias siempre tomarán la forma de un intervalo abierto centrado en c. Es decir, habrá un valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x que satisfaga | xc | ≤ R, la serie de potencias es convergente y para cada x que satisface | xc |> R, la serie de potencias es divergente. Este valor R se llama radio de convergencia de la serie de potencias (R puede tomar cualquier valor real o infinito positivo).
Las series de potencias se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir utilizando las siguientes reglas. Considere las dos series de potencias:
Luego,
es decir, los términos similares se suman o restan juntos. Además, es posible multiplicar y dividir las dos series de potencias usando la identidad,
¿Qué es la serie Taylor?
La serie de Taylor se define para una función f (x) que es infinitamente diferenciable en un intervalo. Suponga que f (x) es derivable en un intervalo centrado en c. Entonces la serie de potencias que viene dada por
se llama expansión en serie de Taylor de la función f (x) sobre c. (Aquí f (n) (c) denota la enésima derivada en x = c). En el análisis numérico, se usa un número finito de términos en esta expansión infinita para calcular valores en los puntos donde la serie es convergente a la función original.
Se dice que una función f (x) es analítica en el intervalo (a, b), si para cada x ε (a, b), la serie de Taylor de f (x) converge a la función f (x). Por ejemplo, 1 / (1-x) es analítico en (-1,1), ya que su expansión de Taylor 1 + x + x 2 +….. + x n +… converge a la función en ese intervalo, y e x es analítica en todas partes, ya que la serie de Taylor de e x converge a e x para cada número real x.
¿Cuál es la diferencia entre la serie Power y la serie Taylor?
1. La serie de Taylor es una clase especial de serie de potencia definida solo para funciones que son infinitamente diferenciables en algún intervalo abierto.
2. Las series de Taylor adoptan una forma especial
mientras que una serie de potencias puede ser cualquier serie de la forma
