Cardenal vs ordinal
En nuestro día a día, el uso de números puede tomar diferentes formas en diferentes situaciones. Por ejemplo, cuando contamos para calcular el tamaño de una colección de objetos, los contamos como uno, dos, tres, etc. Cuando queremos contar algo para tener una idea de la posición de los objetos, los contamos como primero, segundo, tercero, etc. En la primera forma de contar, se dice que los números son números cardinales. En la segunda forma de contar, los números se consideran números ordinales. En este contexto, los conceptos cardinal y ordinal son completamente una cuestión de lingüística; cardinal y ordinal son adjetivos.
Sin embargo, la extensión del concepto a conjuntos en matemáticas revela una perspectiva mucho más profunda y amplia y no puede tratarse en términos simples. En este artículo, intentaremos comprender los conceptos fundamentales de los números cardinales y ordinales en matemáticas.
Las definiciones formales de los números cardinales y ordinales se proporcionan en la teoría de conjuntos. Las definiciones son intrincadas y para comprenderlas en un sentido perfecto se necesitan conocimientos previos en la teoría de conjuntos. Por lo tanto, recurriremos a un par de ejemplos para comprender los conceptos de manera heurística.
Considere los dos conjuntos {1,3,6,4,5,2} y {autobús, coche, ferry, tren, avión, helicóptero}. Cada conjunto enumera un conjunto de elementos, y si contamos el número de elementos es evidente que cada uno tiene el mismo número de elementos, que es 6. Llegando a esta conclusión hemos tomado el tamaño de un conjunto y comparado con otro usando un número. Ese número se llama número cardinal. Por lo tanto, podemos decir que un número cardinal es un número que podemos usar para comparar el tamaño de los conjuntos finitos.
Nuevamente, el primer conjunto de números se puede ordenar en orden ascendente considerando el tamaño de cada elemento y comparándolos. En el proceso de ordenar, los números se consideran cardinales. Asimismo, el conjunto de todos los enteros no negativos se puede ordenar en un conjunto; es decir, {0,1,2,3,4,…..}. Pero en este caso, el tamaño del conjunto se vuelve infinito y no es posible darlo en términos de ordinales. No importa cuán grande sea el número que elija para dar el tamaño del conjunto, aún quedarán números fuera del conjunto que elija y que sean enteros no negativos.
Por lo tanto, los matemáticos definen este cardinal infinito (que es el primero) como Aleph-0, escrito como א (primera letra del alfabeto hebreo). Formalmente, el número ordinal es el tipo de orden de un conjunto bien ordenado. Por lo tanto, el número ordinal de los conjuntos finitos puede estar dado por números cardinales, pero para conjuntos infinitos, el ordinal viene dado por números transfinitos como Aleph-0.
¿Cuál es la diferencia entre los números cardinales y ordinales?
• El número cardinal es un número que se puede usar para contar o para dar el tamaño de un conjunto ordenado finito. Todos los números cardinales son ordinales.
• Los números ordinales son números que se utilizan para dar el tamaño de conjuntos ordenados tanto finitos como infinitos. El tamaño de los conjuntos ordenados finitos viene dado por los números algebraicos hindúes-árabes habituales, y el tamaño del conjunto infinito viene dado por números transfinitos.
