Diferencia Entre Integración Y Suma

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Última modificación: 2023-12-16 08:38

Integración vs Suma

En las matemáticas de la escuela secundaria superior, la integración y la suma se encuentran a menudo en operaciones matemáticas. Aparentemente se utilizan como herramientas diferentes y en situaciones diferentes, pero comparten una relación muy estrecha.

Más acerca de la suma

La suma es la operación de sumar una secuencia de números y la operación a menudo se denota con la letra griega de sigma mayúscula Σ. Se utiliza para abreviar la suma y es igual a la suma / total de la secuencia. A menudo se utilizan para representar la serie, que esencialmente son secuencias infinitas resumidas. También se pueden usar para indicar la suma de vectores, matrices o polinomios.

Por lo general, la suma se realiza para un rango de valores que se pueden representar mediante un término general, como una serie que tiene un término común. El punto de inicio y el punto final de la suma se conocen como límite inferior y límite superior de la suma, respectivamente.

Por ejemplo, la suma de la secuencia a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n es a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n que se puede representar fácilmente usando la notación de suma como ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i se llama índice de suma.

Se utilizan muchas variaciones para la suma basada en la aplicación. En algunos casos, el límite superior y el límite inferior se pueden dar como un intervalo o un rango, como ∑ _1≤i≤100 a _i y ∑ _{i∈ [1100]} a _i. O se puede dar como un conjunto de números como ∑ _i∈P a _i, donde P es un conjunto definido.

En algunos casos, se pueden usar dos o más signos sigma, pero se pueden generalizar de la siguiente manera; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Además, la suma sigue muchas reglas algebraicas. Dado que la operación integrada es la suma, muchas de las reglas comunes del álgebra se pueden aplicar a las sumas en sí y a los términos individuales representados por la suma.

Más sobre integración

La integración se define como el proceso inverso de diferenciación. Pero en su vista geométrica también se puede considerar como el área encerrada por la curva de la función y el eje. Por lo tanto, el cálculo del área da el valor de una integral definida como se muestra en el diagrama.

Fuente de la imagen:

El valor de la integral definida es en realidad la suma de las pequeñas franjas dentro de la curva y el eje. El área de cada tira es la altura x ancho en el punto del eje considerado. El ancho es un valor que podemos elegir, digamos ∆x. Y la altura es aproximadamente el valor de la función en el punto considerado, digamos f (x _i). A partir del diagrama, es evidente que cuanto más pequeñas son las tiras, mejor encajan las tiras dentro del área delimitada, por lo tanto, mejor aproximación del valor.

Entonces, en general, la integral definida I, entre los puntos ayb (es decir, en el intervalo [a, b] donde a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, donde n es el número de tiras (n = (ba) / ∆x). Esta suma del área se puede representar fácilmente usando la notación de suma como I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Dado que la aproximación es mejor cuando ∆x es menor, podemos calcular el valor cuando ∆x → 0. Por lo tanto, es razonable decir que I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Como generalización del concepto anterior, podemos elegir el ∆x basado en el intervalo considerado indexado por i (eligiendo el ancho del área en función de la posición). Entonces tenemos

Yo = lim _{∆x → 0} ∑ ^norte _{yo = 1} f (x _yo) ∆x _yo = _a ∫ ^segundo f (x) dx

Esto se conoce como Integral de Reimann de la función f (x) en el intervalo [a, b]. En este caso, ayb se conocen como el límite superior y el límite inferior de la integral. La integral de Reimann es una forma básica de todos los métodos de integración.

En esencia, la integración es la suma del área cuando el ancho del rectángulo es infinitesimal.

¿Cuál es la diferencia entre integración y suma?

• La suma es la suma de una secuencia de números. Por lo general, la suma se da en esta forma ∑ ⁿ _{i = 1} a _i cuando los términos en la secuencia tienen un patrón y se pueden expresar usando un término general.

• La integración es básicamente el área delimitada por la curva de la función, el eje y los límites superior e inferior. Esta área se puede dar como la suma de áreas mucho más pequeñas incluidas en el área delimitada.

• La suma involucra los valores discretos con los límites superior e inferior, mientras que la integración involucra valores continuos.

• La integración se puede interpretar como una forma especial de suma.

• En los métodos de cálculo numérico, la integración siempre se realiza como una suma.