Integral de Riemann vs Integral de Lebesgue
La integración es un tema principal en cálculo. En un sentido más amplio, la integración puede verse como el proceso inverso de diferenciación. Al modelar problemas del mundo real, es fácil escribir expresiones que involucren derivadas. En tal situación, se requiere la operación de integración para encontrar la función que dio la derivada particular.
Desde otro ángulo, la integración es un proceso que suma el producto de una función ƒ (x) y δx, donde δx tiende a ser un cierto límite. Por eso, usamos el símbolo de integración como ∫. El símbolo ∫ es, de hecho, lo que obtenemos al estirar la letra s para hacer referencia a la suma.
Integral de Riemann
Considere una función y = ƒ (x). La integral de y entre ayb, donde ayb pertenecen a un conjunto x, se escribe como b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Esto se llama integral definida de la función continua y de un solo valor y = ƒ (x) entre ay b. Esto da el área bajo la curva entre ay b. Esto también se llama integral de Riemann. La integral de Riemann fue creada por Bernhard Riemann. La integral de Riemann de una función continua se basa en la medida de Jordan, por lo tanto, también se define como el límite de las sumas de Riemann de la función. Para una función de valor real definida en un intervalo cerrado, la integral de Riemann de la función con respecto a una partición x 1, x 2,…, x ndefinido en el intervalo [a, b] y t 1, t 2,…, t n, donde x i ≤ t i ≤ x i + 1 para cada i ε {1, 2,…, n}, se define la suma de Riemann como Σ yo = o an-1 ƒ (t yo) (x yo + 1 - x yo).
Integral de Lebesgue
Lebesgue es otro tipo de integral, que cubre una amplia variedad de casos que la integral de Riemann. La integral de Lebesgue fue introducida por Henri Lebesgue en 1902. La integración de Legesgue puede considerarse como una generalización de la integración de Riemann.
¿Por qué necesitamos estudiar otra integral?
Consideremos la función característica ƒ A (x) = { 0 si, x no ε A 1 si, x ε A en un conjunto A. Entonces combinación lineal finita de funciones características, que se define como F (x) = Σ a i ƒ E i (x) se llama función simple si E i es medible para cada i. La integral de Lebesgue de F (x) sobre E se denota por E ∫ ƒ (x) dx. La función F (x) no es integrable de Riemann. Por lo tanto, la integral de Lebesgue se reformula como integral de Riemann, que tiene algunas restricciones sobre las funciones a integrar.
¿Cuál es la diferencia entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue?
· La integral de Lebesgue es una forma de generalización de la integral de Riemann.
· La integral de Lebesgue permite una infinidad contable de discontinuidades, mientras que la integral de Riemann permite un número finito de discontinuidades.
