Eventos mutuamente exclusivos vs independientes
La gente a menudo confunde el concepto de eventos mutuamente excluyentes con eventos independientes. De hecho, son dos cosas distintas.
Sean A y B dos eventos cualesquiera asociados con un experimento aleatorio E. P (A) se llama la "Probabilidad de A". De manera similar, podemos definir la probabilidad de B como P (B), la probabilidad de A o B como P (A∪B) y la probabilidad de A y B como P (A∩B). Entonces, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Sin embargo, se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de un evento no afecta al otro. En otras palabras, no pueden ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces A∩B = ∅ y, por lo tanto, eso implica P (A∪B) = P (A) + P (B).
Sean A y B dos eventos en un espacio muestral S. La probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido, se denota por P (A | B) y se define como; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), siempre que P (B)> 0. (de lo contrario, no está definido).
Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A ocurra no está influenciada por si B ha ocurrido o no. En otras palabras, el resultado del evento B no tiene ningún efecto sobre el resultado del evento A. Por lo tanto, P (A | B) = P (A). De manera similar, B es independiente de A si P (B) = P (B | A). Por lo tanto, podemos concluir que si A y B son eventos independientes, entonces P (A∩B) = P (A). P (B)
Suponga que se lanza un cubo numerado y se lanza una moneda justa. Sea A el evento que obtenga cara y B sea el evento que obtenga un número par. Entonces podemos concluir que los eventos A y B son independientes, porque el resultado de uno no afecta el resultado del otro. Por lo tanto, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Dado que P (A∩B) ≠ 0, A y B no pueden ser mutuamente excluyentes.
Suponga que una urna contiene 7 canicas blancas y 8 canicas negras. Defina el evento A como dibujar una canica blanca y el evento B como dibujar una canica negra. Suponiendo que cada canica será reemplazada después de anotar su color, entonces P (A) y P (B) siempre serán iguales, sin importar cuántas veces saquemos de la urna. Reemplazar las canicas significa que las probabilidades no cambian de un dibujo a otro, sin importar el color que escogimos en el último dibujo. Por tanto, los eventos A y B son independientes.
Sin embargo, si las canicas se extrajeron sin reemplazo, entonces todo cambia. Bajo este supuesto, los eventos A y B no son independientes. Dibujar una canica blanca la primera vez cambia las probabilidades de dibujar una canica negra en la segunda toma y así sucesivamente. En otras palabras, cada sorteo tiene un efecto en el siguiente sorteo, por lo que los sorteos individuales no son independientes.
Diferencia entre eventos mutuamente excluyentes e independientes
- La exclusividad mutua de eventos significa que no hay superposición entre los conjuntos A y B. La independencia de eventos significa que el suceso de A no afecta el suceso de B.
- Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P (A∩B) = 0.
- Si dos eventos A y B son independientes, entonces P (A∩B) = P (A). P (B)
