Asociativo vs conmutativo
En nuestro día a día, tenemos que utilizar números siempre que necesitamos medir algo. En la tienda de abarrotes, en la gasolinera e incluso en la cocina, necesitamos sumar, restar y multiplicar dos o más cantidades. Desde nuestra práctica, realizamos estos cálculos sin esfuerzo. Nunca nos damos cuenta ni nos preguntamos por qué hacemos estas operaciones de esta manera en particular. O por qué estos cálculos no se pueden hacer de otra manera. La respuesta está oculta en la forma en que se definen estas operaciones en el campo matemático del álgebra.
En álgebra, una operación que involucra dos cantidades (como la suma) se define como una operación binaria. Más precisamente, es una operación entre dos elementos de un conjunto y estos elementos se denominan "operando". Muchas operaciones en matemáticas, incluidas las operaciones aritméticas mencionadas anteriormente y las que se encuentran en la teoría de conjuntos, el álgebra lineal y la lógica matemática, pueden definirse como operaciones binarias.
Existe un conjunto de reglas de gobierno que pertenecen a una operación binaria específica. Las propiedades asociativas y conmutativas son dos propiedades fundamentales de las operaciones binarias.
Más sobre propiedad conmutativa
Suponga que se realiza alguna operación binaria, denotada por el símbolo ⊗, en los elementos A y B. Si el orden de los operandos no afecta el resultado de la operación, entonces se dice que la operación es conmutativa. es decir, si A ⊗ B = B ⊗ A entonces la operación es conmutativa.
Las operaciones aritméticas de suma y multiplicación son conmutativas. El orden de los números sumados o multiplicados no afecta la respuesta final:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Pero en el caso de la división, el cambio en el orden da el recíproco del otro, y en la resta el cambio da el negativo del otro. Por lo tanto, A - B ≠ B - A ⇒ 4-5 = -1 y 5-4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 y 5 ÷ 4 = 1.25 [en este caso A, B ≠ 1 y 0]
De hecho, se dice que la resta es anti-conmutativa; donde A - B = - (B - A).
Además, los conectivos lógicos, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia, también son conmutativas. Las funciones de verdad también son conmutativas. La unión e intersección de las operaciones del conjunto son conmutativas. La suma y el producto escalar de los vectores también son conmutativos.
Pero la resta de vectores y el producto vectorial no son conmutativos (el producto vectorial de dos vectores es anti-conmutativo). La suma de la matriz es conmutativa, pero la multiplicación y la resta no son conmutativas. (La multiplicación de dos matrices puede ser conmutativa en casos especiales, como la multiplicación de una matriz con su inversa o la matriz identidad; pero definitivamente las matrices no son conmutativas si las matrices no son del mismo tamaño)
Más acerca de la propiedad asociativa
Se dice que una operación binaria es asociativa si el orden de ejecución no afecta el resultado cuando hay dos o más ocurrencias del operador. Considere los elementos A, B y C y la operación binaria ⊗. Se dice que la operación ⊗ es asociativa si
UNA ⊗ B ⊗ C = UNA ⊗ (B ⊗ C) = (UNA ⊗ B) ⊗ C
De las funciones aritméticas básicas, solo la suma y la multiplicación son asociativas.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
La resta y la división no son asociativas;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5-3) = 2 y (5-4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 y (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666
Las conectivas lógicas disyunción, conjunción y equivalencia son asociativas, como también las operaciones de conjunto unión e intersección. La matriz y la suma de vectores son asociativas. El producto escalar de los vectores es asociativo, pero el producto vectorial no lo es. La multiplicación de matrices es asociativa solo en circunstancias especiales.
¿Cuál es la diferencia entre propiedad conmutativa y asociativa ??
• Tanto la propiedad asociativa como la propiedad conmutativa son propiedades especiales de las operaciones binarias, y algunas las satisfacen y otras no.
• Estas propiedades se pueden ver en muchas formas de operaciones algebraicas y otras operaciones binarias en matemáticas, como la intersección y unión en la teoría de conjuntos o las conectivas lógicas.
• La diferencia entre conmutativa y asociativa es que la propiedad conmutativa establece que el orden de los elementos no cambia el resultado final mientras que la propiedad asociativa establece que el orden en el que se realiza la operación no afecta la respuesta final.
